어떻게 $U ni f (0, 1)$ 값을 생성하는 함수를 가지고 있을때, 특정 분포를 따르는 함수를 만들게 할 수 있을까?

정리

$U \sim U ni f (0, 1)$ 을 따를때, $X \sim F^{- 1} (U)$ 라고 하면, $X \sim F$ 이다.

증명

nondecreasing $h : X \to Y$ 에 대해 역함수를 일반화 하면 infimum을 사용해서 다음과 같이 정의할 수 있다.

F^{- 1} (y) = in f {x \in X : F (x) \geq y}, y \in Y

그러면 연속분포와 이산분포 모두에서 다음과 같이 증명할 수 있다.

P r {X \leq x} = P r {F^{- 1} (U) \leq x} = P r {U \leq F (x)} = F (x)

hist(qnorm(runif(10000)))